Comment sont construits les motifs géométriques islamiques ?

Regardez le sol d’une mosquée ancienne, le plafond d’un palais persan ou le décor d’une madrasa andalouse : vous y verrez presque toujours des étoiles à six, huit ou douze branches, entrelacées avec des polygones qui se répètent à l’infini sans jamais laisser le moindre vide. Ces compositions, que l’on regroupe aujourd’hui sous le nom de géométrie islamique, fascinent autant les mathématiciens que les amateurs d’art. Mais comment un artisan du Xe ou du XIIe siècle parvenait-il à tracer de tels motifs avec seulement un compas et une règle ? Cet article vous propose de comprendre la logique qui sous-tend ces constructions, leur histoire et leurs principes fondamentaux, sans connaissances préalables en mathématiques.

Un héritage antique transformé

La géométrie islamique ne naît pas de rien. Elle puise largement dans des savoirs plus anciens, et il est important de distinguer ce qui a été hérité de ce qui a été véritablement inventé ou transformé.

Les éléments de base, le cercle, le carré, le triangle équilatéral et leurs propriétés, viennent en grande partie de la géométrie grecque, notamment des Éléments d’Euclide, traduits en arabe à Bagdad vers le IXe siècle. Les savants persans et indiens ont également transmis des techniques de pavage et de calcul que les traducteurs de la Bayt al-Hikma (Maison de la Sagesse) ont intégrées à ce nouveau corpus.

Ce qui appartient en propre aux artisans et mathématiciens du monde islamique, c’est la systématisation de ces outils pour créer des motifs décoratifs d’une complexité inédite, capables de couvrir des surfaces entières sans interruption. C’est aussi l’invention de procédures de construction transmissibles, consignées dans des manuels destinés aux artisans. Le passage de la géométrie théorique à la pratique décorative est, lui, une contribution originale de cette civilisation.

Le compas, la règle et rien d’autre

L’outil fondamental du géomètre artisan est le compas. Avec un compas et une règle droite, il est possible de diviser un cercle en un nombre précis de parties égales, et c’est de cette division que naissent tous les motifs.

Divisez un cercle en six parties égales : vous obtenez les points qui permettent de tracer un hexagone régulier et une étoile à six branches. Divisez-le en huit : vous obtenez un octogone et une étoile à huit branches. En douze : une étoile à douze branches. Chaque nombre de divisions produit une famille de motifs qui lui est propre.

L’étape suivante consiste à relier ces points de division selon des règles précises. Si vous reliez les points voisins, vous tracez un polygone régulier. Si vous sautez un, deux ou trois points à chaque fois, vous obtenez des étoiles aux branches de plus en plus effilées. La beauté du système tient au fait que toutes ces figures s’emboîtent naturellement : les espaces laissés vides entre les étoiles sont eux-mêmes des polygones réguliers, losanges, hexagones, carrés ou triangles.

Le principe du pavage sans vide ni chevauchement

Le défi central de la géométrie islamique est le pavage, c’est-à-dire la capacité à recouvrir une surface plane sans laisser aucun espace vide et sans superposer les éléments. Tous les motifs que vous observez dans les grandes réalisations répondent à cette contrainte.

Les mathématiciens savent aujourd’hui que seuls certains polygones réguliers peuvent paver le plan seuls : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Pour obtenir des motifs plus variés, il faut combiner plusieurs polygones différents. C’est précisément ce que faisaient les artisans islamiques, bien avant la formalisation mathématique de ces règles, au XVIIe siècle, par Kepler.

Un exemple courant est la combinaison d’un octogone régulier et d’un carré : en alternant ces deux formes, on pave le plan sans vide. À partir de là, en traçant des lignes supplémentaires à l’intérieur de chaque polygone, on fait apparaître des étoiles. Le motif final semble complexe, mais il repose sur une grille sous-jacente d’une grande simplicité.

Comment construire une étoile à huit branches

Pour illustrer concrètement la méthode, voici les étapes principales de la construction d’une étoile à huit branches, l’un des motifs les plus répandus dans l’art islamique.

• Tracez un cercle avec votre compas, puis un diamètre horizontal et un diamètre vertical : vous obtenez quatre points sur le cercle.
• Tracez deux diamètres supplémentaires à 45 degrés des premiers : vous avez maintenant huit points régulièrement espacés sur le cercle.
• Reliez chaque point à celui situé deux positions plus loin, en tournant toujours dans le même sens : vous obtenez deux carrés superposés qui forment une étoile à huit branches.
• Les espaces entre les branches de l’étoile sont naturellement des triangles et des losanges qui serviront de base au pavage.
• Répétez ce module en le décalant selon la grille sous-jacente pour couvrir toute la surface.

Cette procédure, simple dans ses étapes élémentaires, peut être rendue infiniment plus complexe en ajoutant des niveaux de subdivisions supplémentaires, ce que les artisans ottomans, safavides ou andalous ont poussé à des sommets de raffinement.

Le girih et les grandes innovations médiévales

Vers le XIe et le XIIe siècle, une technique particulière se développe surtout en Iran et en Asie centrale : le girih (noeud, en persan), un système dans lequel on définit d’abord un ensemble de tuiles polygonales standardisées, puis on les assemble comme des pièces de puzzle pour construire des motifs variés.

Chaque tuile du système girih porte des lignes décoratives tracées à l’intérieur d’elle, selon des angles précis. Quand on assemble les tuiles, ces lignes intérieures se rejoignent parfaitement aux bords et forment un réseau continu de bandes entrelacées que l’oeil lit comme un motif autonome, indépendamment des contours des tuiles elles-mêmes. C’est un niveau d’abstraction remarquable.

Des chercheurs, notamment Peter Lu et Paul Steinhardt dans une étude publiée en 2007, ont montré que certains pavages islamiques du XVe siècle présentent des propriétés proches de ce que l’on appelle aujourd’hui les pavages de Penrose, des structures quasi-périodiques décrites par les mathématiciens dans la seconde moitié du XXe siècle. Ce rapprochement reste un sujet de discussion dans la communauté scientifique, mais il témoigne de la sophistication atteinte par certains artisans médiévaux.

Questions fréquentes

Pourquoi la géométrie occupe-t-elle une telle place dans l’art islamique ?

Plusieurs explications sont avancées par les historiens de l’art. Certains soulignent que la géométrie permettait de décorer des surfaces de toute taille sans représenter des figures humaines ou animales, une préférence esthétique et, selon certaines traditions, religieuse répandue dans ce contexte. D’autres insistent sur le prestige intellectuel de la géométrie dans la culture savante de l’époque. Les deux facteurs ont probablement joué un rôle, et les lectures varient selon les chercheurs.

Ces techniques ont-elles été transmises à l’Europe ?

Oui, en partie. La Sicile normande et l’Espagne andalouse ont été des points de contact importants. Des motifs géométriques d’inspiration islamique apparaissent dans des édifices chrétiens médiévaux, notamment en Italie du Sud et dans la péninsule ibérique. La transmission a souvent été indirecte, par imitation visuelle plutôt que par transfert de méthodes écrites.

Peut-on apprendre à tracer ces motifs soi-même aujourd’hui ?

Tout à fait. De nombreux ouvrages pratiques et des tutoriels en ligne proposent des constructions pas à pas avec un compas et une règle. Certains musées et centres culturels organisent également des ateliers ouverts au public. La pratique manuelle reste le meilleur moyen de comprendre la logique interne de ces motifs. Pour un premier contact, le puzzle « Reconstituez le monument » de ce site propose de remonter, pièce par pièce, des décors de Cordoue, d’Istanbul, de Médine ou d’Abu Dhabi.

Sources

Keith Critchlow, Islamic Patterns: An Analytical and Cosmological Approach, Thames & Hudson, 1976.

Peter J. Lu et Paul J. Steinhardt, « Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture », Science, vol. 315, 2007, p. 1106-1110.

Gülru Necipoğlu, The Topkapı Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture, Getty Center, 1995.

Eric Broug, Islamic Geometric Patterns, Thames & Hudson, 2008 (trad. fr. Motifs géométriques islamiques, Eyrolles, 2013).