Al-Khwarizmi a-t-il inventé l’algèbre ?

Son nom vous est peut-être inconnu, mais vous utilisez chaque jour l’héritage de ses travaux. Al-Khwarizmi est un savant qui vécut à Bagdad au début du IXe siècle. Il est aujourd’hui reconnu par les historiens des sciences comme le fondateur de l’algèbre en tant que discipline autonome. De son nom latinisé, Algoritmi, est né le mot « algorithme ». Du titre de son ouvrage le plus célèbre est né le mot « algèbre » lui-même. Cet article vous propose de comprendre ce qu’al-Khwarizmi a réellement inventé, ce qu’il a puisé chez d’autres civilisations, et comment ses idées ont voyagé jusqu’en Europe pour transformer durablement l’histoire des mathématiques.

Qui était al-Khwarizmi ?

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi naquit vers la fin du VIIIe siècle, probablement dans la région du Khwarezm, un territoire situé en Asie centrale, dans l’actuel Ouzbékistan. Il travailla à Bagdad, à la cour du calife al-Ma’mun, à l’époque de la Bayt al-Hikma (Maison de la Sagesse), la bibliothèque du palais, au moment où se traduisent en arabe des textes grecs, persans et indiens.

On sait peu de choses sur sa vie personnelle. Les dates de sa naissance et de sa mort restent incertaines selon les sources historiques. Ce qui est en revanche bien documenté, ce sont ses écrits. Il produisit des travaux en mathématiques, en astronomie et en géographie, plusieurs de ses ouvrages étant conservés, au moins en partie, dans des traductions latines médiévales.

Le livre fondateur de l’algèbre

Vers l’an 830, al-Khwarizmi rédigea un traité dont le titre en arabe commence par les mots al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala (Le livre abrégé sur le calcul par la restauration et la compensation). Ce titre peut sembler obscur, mais il contient deux opérations fondamentales que l’auteur décrit pour résoudre des équations.

Al-jabr (la restauration) désigne l’opération qui consiste à transférer un terme négatif d’un côté d’une équation vers l’autre côté pour l’éliminer. Al-muqabala (la compensation) consiste à simplifier une équation en réduisant des termes semblables des deux côtés. C’est le mot al-jabr, passé en latin sous la forme algebra, qui a donné naissance au terme « algèbre » dans toutes les langues européennes.

Dans cet ouvrage, al-Khwarizmi ne se contente pas de résoudre des problèmes concrets. Il construit une méthode générale, applicable à des catégories entières d’équations. C’est précisément cette démarche de généralisation qui représente une rupture avec les traditions mathématiques antérieures, lesquelles résolvaient des problèmes cas par cas, sans chercher à formuler des règles universelles.

Ce qu’il a inventé et ce qu’il a transmis

Il est important de distinguer deux aspects du travail d’al-Khwarizmi, car les historiens insistent sur cette nuance.

D’un côté, al-Khwarizmi s’est appuyé sur des connaissances existantes. Les mathématiciens babyloniens et grecs connaissaient déjà des équations du second degré. Les savants indiens, en particulier Brahmagupta au VIIe siècle, avaient développé des techniques de calcul avancées. Les astronomes perses avaient produit des tables de calcul que la Maison de la Sagesse s’employait à traduire. Al-Khwarizmi a lu, synthétisé et assimilé ces apports.

De l’autre côté, sa contribution propre est réelle et documentée. Il a été le premier à traiter l’algèbre comme une discipline en elle-même, séparée de la géométrie et de l’arithmétique, avec ses propres objets et ses propres méthodes. Il a classifié les équations du premier et du second degré en six catégories et proposé des procédures de résolution pour chacune d’elles. Il a également associé à chaque résolution algébrique une démonstration géométrique, ce qui donnait à ses solutions une base de preuve rigoureuse.

Son second ouvrage majeur porta sur les chiffres indiens. Dans ce texte, al-Khwarizmi expliqua le système de numération positionnel venu d’Inde, incluant le zéro. Ce système, que nous utilisons aujourd’hui sous le nom de chiffres arabes, a transité par le monde arabo-musulman avant d’atteindre l’Europe. Al-Khwarizmi ne l’a pas inventé, mais il en a rédigé l’une des premières présentations systématiques accessibles aux lecteurs arabophones, jouant ainsi un rôle essentiel de transmission.

Le voyage vers l’Europe

Les travaux d’al-Khwarizmi commencèrent à circuler en Europe latine à partir du XIIe siècle, grâce à un mouvement intense de traductions réalisées principalement en Espagne, dans des villes comme Tolède. Des traducteurs comme Gérard de Crémone rendirent ses textes accessibles aux savants européens.

La latinisation de son nom, Algoritmi, fut utilisée pour désigner les méthodes de calcul qu’il décrivait. Au fil du temps, ce nom se transforma en « algorithme », terme qui désigne aujourd’hui toute suite d’instructions permettant de résoudre un problème de manière systématique. Les ordinateurs et les smartphones que vous utilisez quotidiennement fonctionnent grâce à des algorithmes, et ce mot porte la mémoire d’un savant du IXe siècle.

L’algèbre d’al-Khwarizmi ne fut pas simplement copiée en Europe. Elle y fut discutée, étendue et transformée par des générations de mathématiciens, notamment en Italie à la Renaissance. Mais le cadre conceptuel de départ, la méthode générale de résolution des équations, venait bien de son traité.

Pourquoi Bagdad au IXe siècle ?

Il peut sembler surprenant que l’une des contributions les plus importantes de l’histoire des mathématiques soit née à Bagdad au IXe siècle. Ce n’est pourtant pas un hasard. Les califes abbassides, en particulier al-Mamun sous le règne duquel al-Khwarizmi travailla, encouragèrent activement la production intellectuelle. Bagdad était un espace où des savants venus de traditions différentes, grecque, persane, indienne et arabe, échangeaient et construisaient de nouveaux savoirs.

Cette situation de carrefour intellectuel explique en grande partie pourquoi al-Khwarizmi put à la fois hériter de plusieurs traditions et les dépasser. Ses travaux sont un exemple de ce que les historiens des sciences appellent une synthèse créatrice, une démarche qui prend le meilleur de plusieurs sources pour produire quelque chose de nouveau.

FAQ : questions fréquentes

Al-Khwarizmi a-t-il inventé les chiffres arabes ?
Non. Le système de numération positionnel, incluant le zéro, est d’origine indienne. Al-Khwarizmi a joué un rôle de transmetteur en en rédigeant une présentation claire en arabe, ce qui a permis sa diffusion vers le monde occidental. Les historiens attribuent l’invention de ce système à des mathématiciens indiens, dont les travaux précèdent al-Khwarizmi de plusieurs siècles.

Le mot « algèbre » vient-il vraiment de l’arabe ?
Oui. Il vient du mot arabe al-jabr, qui apparaît dans le titre du traité d’al-Khwarizmi. Ce terme a été repris tel quel dans les traductions latines médiévales, puis adopté progressivement par les langues européennes. C’est l’un des exemples les plus clairs d’un mot scientifique dont on peut retracer l’origine précise jusqu’à un texte et un auteur identifiés. Il n’est pas le seul : voir les mots français venus de l’arabe.

L’algèbre d’al-Khwarizmi ressemble-t-elle à l’algèbre que l’on enseigne aujourd’hui ?
Elle en est le lointain ancêtre, mais elle en diffère beaucoup en apparence. Al-Khwarizmi n’utilisait pas de symboles comme x ou y. Ses équations étaient entièrement écrites en mots. La notation symbolique que vous avez peut-être vue en classe fut développée progressivement en Europe entre le XVe et le XVIIe siècle. Ce que l’on doit à al-Khwarizmi, c’est la démarche générale de raisonnement, et non la forme visuelle actuelle des équations.

Sources

• Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra, Kluwer, 1994.
• Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, coll. « Points Sciences », 2001.
• Roshdi Rashed (éd. et trad.), Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre, Blanchard, 2007.
• George Saliba, Islamic Science and the Making of the European Renaissance, MIT Press, 2007.

Crédits images : statue d’al-Khwarizmi — Adam Harangozó, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons ; manuscrit de l’Algèbre — Bodleian Library, domaine public, via Wikimedia Commons.